Modulation de Fréquence : Théorie, Domaine Temporel, Domaine des Fréquences

Bien que moins intuitive que la modulation d’amplitude, la modulation de fréquence est toujours une méthode assez simple de transmission de données sans fil.

Nous connaissons tous au moins vaguement la modulation de fréquence – c’est l’origine du terme « radio FM ». Si nous considérons la fréquence comme quelque chose qui a une valeur instantanée, plutôt que comme quelque chose qui se compose de plusieurs cycles divisés par une période de temps correspondante, nous pouvons varier en continu la fréquence en fonction de la valeur instantanée d’un signal en bande de base.

Les maths

Dans la première page de ce chapitre , nous avons discuté de la quantité paradoxale appelée fréquence instantanée. Si vous trouvez ce terme peu familier ou déroutant, revenez à cette page et lisez la section «Modulation de fréquence (FM) et modulation de phase (PM)». Vous êtes peut-être encore un peu incertain, et c’est compréhensible – l’idée d’une fréquence instantanée viole le principe de base selon lequel la «fréquence» indique la fréquence à laquelle un signal termine un cycle complet: dix fois par seconde, un million de fois par seconde , ou quoi que ce soit.

Nous n’essaierons aucune sorte de traitement approfondi ou complet de la fréquence instantanée en tant que concept mathématique. (Si vous êtes déterminé à explorer cette question en profondeur, voici un article académique qui devrait vous aider.) Dans le contexte de la FM, l’important est de réaliser que la fréquence instantanée découle naturellement du fait que la fréquence de la porteuse varie en continu en réponse à l’onde modulatrice (c’est-à-dire le signal en bande de base). La valeur instantanée du signal en bande de base influe sur la fréquence à un moment particulier, et non sur la fréquence d’un ou plusieurs cycles complets.

En fait, cependant, cela n’est vrai que pour la FM analogique; en FM numérique, un bit correspond à un nombre discret de cycles. Cela conduit à la situation intéressante dans laquelle la technologie plus ancienne (FM analogique) est moins intuitive que la technologie plus récente (FM numérique, également appelée modulation par décalage de fréquence ou FSK).

Vous n’avez pas besoin de réfléchir à la fréquence instantanée pour comprendre la modulation de fréquence numérique.

Comme dans la page précédente, nous écrirons le porteur comme sin (ω C t). Il a déjà une fréquence (à savoir, ω C ), nous allons donc utiliser le terme fréquence excessivese référer à la composante fréquentielle apportée par la procédure de modulation. Ce terme est cependant légèrement trompeur, car un «excès» implique une fréquence plus élevée, tandis que la modulation peut entraîner une fréquence porteuse supérieure ou inférieure à la fréquence porteuse nominale. En fait, c’est pourquoi la modulation de fréquence (contrairement à la modulation d’amplitude) ne nécessite pas de signal de bande de base décalé: les valeurs de bande de base positives augmentent la fréquence porteuse et les valeurs de bande de base négatives diminuent la fréquence porteuse. Dans ces conditions, la démodulation n’est pas un problème, car toutes les valeurs de bande de base correspondent à une fréquence unique.

Quoi qu’il en soit, revenons à notre signal porteur: sin (ω C t). Si nous ajoutons le signal de bande de base (x BB ) à la quantité à l’intérieur des parenthèses, nous rendons la phase en excès linéairement proportionnelle au signal de bande de base. Mais nous recherchons une modulation de fréquence, pas une modulation de phase, nous voulons donc que la fréquence excédentaire soit linéairement proportionnelle au signal de bande de base. Nous savons de la première page de ce chapitre  que nous pouvons obtenir la fréquence en prenant la dérivée, par rapport au temps, de la phase. Ainsi, si nous voulons que la fréquence soit proportionnelle à x BB, nous devons ajouter non pas le signal de bande de base lui-même mais plutôt l’intégrale du signal de bande de base (car la dérivation annule l’intégrale, et nous nous retrouvons avec x BB comme fréquence excédentaire).

xFM (t) = sin (ωCt + ∫t − ∞xBB (t) dt)

La seule chose que nous devons ajouter ici est l’indice de modulation, m. Dans la page précédente, nous avons vu que l’indice de modulation peut être utilisé pour rendre les variations d’amplitude de la porteuse plus ou moins sensibles aux variations de la valeur de bande de base. Sa fonction en FM est équivalente: l’indice de modulation nous permet d’affiner l’intensité du changement de fréquence produit par un changement de la valeur de la bande de base.

xFM (t) = sin (ωCt + m∫t − ∞xBB (t) dt)

Le domaine temporel

Regardons quelques formes d’onde. Voici notre porteuse 10 MHz:

Le signal en bande de base sera une onde sinusoïdale de 1 MHz, comme suit:

La forme d’onde FM est générée en appliquant la formule donnée ci-dessus. L’intégrale de sin (x) est –cos (x) + C. La constante C n’est pas pertinente ici, nous pouvons donc utiliser l’équation suivante pour calculer le signal FM:

xFM (t) = sin ((10 × 106 × 2πt) −cos (1 × 106 × 2πt))

Voici le résultat (le signal en bande de base est affiché en rouge):

Il semble presque que la porteuse n’a pas changé, mais si vous regardez attentivement, les pics sont légèrement plus rapprochés lorsque le signal en bande de base est proche de sa valeur maximale. Nous avons donc ici une modulation de fréquence; le problème est que les variations de bande de base ne produisent pas suffisamment de variation de fréquence porteuse. On peut facilement remédier à cette situation en augmentant l’indice de modulation. Utilisons m = 4:

xFM (t) = sin ((10 × 106 × 2πt) −4cos (1 × 106 × 2πt))

Nous pouvons maintenant voir plus clairement comment la fréquence de la porteuse modulée suit en continu la valeur instantanée de la bande de base. 

Le domaine fréquentiel

Les formes d’ondes temporelles AM et FM pour les mêmes signaux de bande de base et de porteuse sont très différentes. Il est donc intéressant de constater que l’AM et la FM à bande étroite produisent des changements similaires dans le domaine fréquentiel. (La bande FM étroite implique une bande passante modulante limitée et permet une analyse plus facile.) Dans les deux cas, un spectre de basses fréquences (y compris les fréquences négatives) est traduit en une bande qui s’étend au-dessus et au-dessous de la fréquence porteuse. Avec AM, le spectre de bande de base lui-même est déplacé vers le haut. Avec FM, c’est le spectre de l’ intégrale du signal en bande de base qui apparaît dans la bande entourant la fréquence porteuse.

Pour la modulation à fréquence de bande de base unique, m-égal à 1, comme indiqué ci-dessus, nous avons les éléments suivants:

Le spectre suivant est avec m = 4:

Cela démontre très clairement que l’indice de modulation influence le contenu en fréquence de la forme d’onde modulée. L’analyse spectrale avec modulation de fréquence est plus compliquée qu’avec une modulation d’amplitude; il est difficile de prédire la largeur de bande des signaux modulés en fréquence.

Sommaire

  • La représentation mathématique de la modulation de fréquence consiste en une expression sinusoïdale avec l’intégrale du signal en bande de base ajoutée à l’argument de la fonction sinus ou cosinus.
  • L’indice de modulation peut être utilisé pour rendre l’écart de fréquence plus sensible ou moins sensible aux variations de la valeur de bande de base.
  • La modulation de fréquence à bande étroite entraîne une traduction du spectre de l’intégrale du signal de bande de base en une bande entourant la fréquence porteuse.
  • Un spectre FM est influencé par l’indice de modulation ainsi que par le rapport de l’amplitude du signal modulant sur la fréquence du signal modulant