Expliquer les données I/Q

Article traduit de :

Radioamateur – PØSAT ***

Les données IQ expliquées

Il s’agit d’une description de l’utilisation des données I/Q (alias « signal analytique ») représentant un signal. Étant donné que le sujet peut être assez déroutant, j’ai décrit la même chose ici d’un point de vue différent. Si vous trouvez l’information quelque peu redondante, c’est parce qu’elle l’est. Différents points de vue peuvent plaire à différents lecteurs, et si quelque chose ne semble pas clair, continuez à lire et cela pourra être plus compréhensible plus tard – espérons-le.

Pourquoi les données I/Q ?

I/Q Data est une représentation du signal beaucoup plus précise que la simple utilisation d’une série d’échantillons de l’amplitude momentanée du signal. Jetez un coup d’œil au signal ci-dessous.

C’est ce avec quoi vous pouvez être habitué à travailler. Alors pourquoi I/Q Data – n’est-ce pas assez bon ?

Pas vraiment. Nous avons quelques problèmes ici.

  • Tout d’abord, il est impossible de déterminer la fréquence de ce signal. Bien sûr, cela semble assez simple, il suffit de regarder la durée de la période ? C’est vrai, mais vous n’avez aucune idée s’il s’agit d’une fréquence positive ou négative puisqu’ils génèrent tous les deux la même courbe. C’est-à-dire cos(x) = cos(-x). Cela devient un problème de travail avec le signal. Mélanger (multiplier) deux signaux et cela entraînera plusieurs solutions en raison de l’incertitude du signe : f1 ⊗ f2 est égal à f1 + f2 ainsi que f1 – f2.
  • Deuxièmement, il est difficile de déterminer la puissance (amplitude de crête, enveloppe) du signal. Fondamentalement, vous ne pouvez voir l’amplitude de crête ici qu’à 0°, 180°, 360°, etc., et comment savez-vous que la puissance est la même partout ailleurs ? Et avez-vous échantillonné le signal exactement à son apogée ? Vous ne savez vraiment pas.

Les données I/Q résolvent ce problème. Au lieu de regarder le signal comme une courbe plate comme ci-dessus, regardez-le comme un tire-bouchon (hélice, spirale, ressort hélicoïdal) en trois dimensions.

Maintenant, si vous regardez cette courbe de côté, vous obtiendrez en fait le même graphique que le premier ci-dessus. Votre « vrai » signal est en fait cette projection 2D de ce signal de tire-bouchon. C’est votre « I » dans les données I/Q.

Maintenant, regardez le tire-bouchon d’en haut. Cela semble assez similaire, mais comme vous le voyez, il est déphasé de 90° à partir de zéro, non pas l’un par rapport à l’autre. C’est la partie Q de vos données I/Q.

Maintenant, en regardant le tire-bouchon sur l’axe du temps, vous verrez qu’il tourne dans le sens inverse des aiguilles d’une montre. Cela signifie que nous savons que la fréquence est positive. Il aurait également pu s’enrouler dans le sens des aiguilles d’une montre, générant toujours le même signal I (projection) mais un signal Q différent, représentant une fréquence négative.

Vous voyez aussi que le rayon du tire-bouchon est constant à chaque échantillon, si petit en I grand en Q et vice versa. Le rayon est l’amplitude maximale de votre signal.

Les axes sont bien sûr à 90°, donc le rayon doit être égal à (I²+Q²)1/2. Il s’agit de l’amplitude de crête de votre signal, et comme vous pouvez le voir, vous le savez pour chaque échantillon.

Qu’est-ce que les données I/Q ?

Comme vous le comprenez maintenant, l’échantillon de données I/Q correspond aux coordonnées de votre signal telles qu’elles sont vues sur l’axe du temps du tire-bouchon.

Vous pourriez objecter que votre signal n’est pas une fonction cosinus pure comme celle que nous avons montrée ici, et cela pourrait être très vrai. Pourtant, chaque échantillon de votre signal peut être décrit comme tel, c’est-à-dire avec une amplitude de crête multipliée par le cosinus d’un certain angle de phase.

Chaque point de votre signal peut être décrit comme la fonction A⋅cos(ϕ)

Puisque vous pouvez librement choisir n’importe quelle amplitude A et angle ϕ, cela doit bien sûr être vrai (tant que le signal est continu). La valeur de A⋅cos(ϕ) est la composante I du signal I/Q, c’est-à-dire votre signal réel. Notez que cela ne décrit votre signal qu’en un seul point, c’est-à-dire un échantillon. L’échantillon suivant vous donne un nouveau I et Q résultant très probablement en une autre amplitude et/ou un autre angle de phase, reflétant la modulation du signal.

Un échantillon de données I/Q

Ok, prenons un échantillon de données I/Q et voyons ce qu’il représente. Ceci est également appelé vecteur de phase ou phaseur.

Je = 0,69 
Q = 0,40

Dessinons ceci dans le plan complexe.

Voyons ce que cela nous dit sur notre point de données.

  • L’amplitude momentanée de notre signal réel est par définition I , soit 0,69
  • Pythagore nous dit que l’amplitude A de l’onde cosinus est(0.69²+0.40²)1/2 = 0.8
  • La trigonométrie nous dit que notre angle est de +30° dans notre onde cosinus.

Tenez , dites-vous, quelle onde cosinus ?

Eh bien, I/Q suppose en fait que votre signal réel (je, c’est-à-dire) peut être décrit comme la fonction I = A⋅cos(ϕ)

Puisque vous êtes libre de choisir A et ϕ, cela doit bien sûr être vrai, tant que la fonction est continue. N’oubliez pas que nous examinons un seul échantillon maintenant, c’est-à-dire un point dans le temps.

Ainsi, en utilisant IQ Data, nous obtenons non seulement les valeurs momentanées de notre signal, mais également la fonction qui le génère. Si nous rassemblons ci-dessus, nous obtenons:

Le signal réel I = 0.8⋅cos(30°)

  • I/Q Data est la représentation (type de données) de cette fonction cosinus.

I/Q Data est la représentation rectangulaire de la notation polaire que nous avons utilisée ci-dessus. Il y a une transformation unique entre les deux, et les différentes notations ont des propriétés différentes en calculant avec elles. La forme rectangulaire des données I/Q est choisie en raison de la facilité d’implémentation matérielle des opérations les plus courantes.

I/Q Data se compose de I et Q représentés comme deux variables distinctes, un vecteur de longueur deux, ou plus souvent, le nombre complexe I + Q i (oui, I est la partie réelle).

Notez que l’amplitude ci-dessus est l’amplitude maximale des vagues, pas l’amplitude momentanée.

  • I est l’amplitude momentanée actuelle du signal (c’est-à-dire le signal réel)
  • Q est l’amplitude momentanée du signal déphasé de -90°.

Pour une fonction simple telle que le sinus, le déphasage est ce que le signal était plus tôt dans le temps, mais pour un signal avec plus d’une composante sinusoïdale, Q reflète un décalage de -90° des composants individuels, et non le signal composite en tant que tel . Pour convertir un signal réel en un signal de données I/Q, une transformation de Fourier discrète est requise (transformée de Hilberts).

Différentes manières de représenter le même échantillon de données I/Q

Il existe au moins trois façons courantes de représenter l’échantillon de données I/Q. Différentes représentations vous donnent différents avantages et inconvénients. Certains sont plus faciles à ajouter, d’autres sont plus faciles à multiplier, etc. Cela peut être important dans la mise en œuvre, ce qui se traduit par un matériel/logiciel moins complexe utilisant la meilleure représentation.

La forme rectangulaire

Les données I/Q sur la forme Q et I sont appelées forme « rectangulaire » (ou « cartésienne ») car elles peuvent être considérées comme des positions dans un système de coordonnées. I et Q sont respectivement les axes x et y. C’est la représentation la plus courante à laquelle vous êtes habitué. Cette forme est la plus courante en raison de la facilité de la moduler/démoduler dans le matériel. Plus sur ce sujet plus tard.

  • Sous forme de nombre complexe : I + Q i
  • En tant que vecteur [I,Q]
  • Ou juste les deux variables simples I et Q

La forme polaire

  • Amplitude et angle

I = Amplitude⋅cos(angle)
Q = Amplitude⋅sin(angle)

L’amplitude est l’amplitude maximale de la fonction cos (et sin), et l’angle est la distance dans la période de zéro à 360° où vous vous trouvez (ou 0 à 2π si vous préférez les radians).

Forme d’Euler

Puisque cos(ϕ) + i⋅sin(ϕ) = e nous pouvons écrire notre échantillon de QI comme
Ae

Cela pourrait (pas ?) Être la représentation la plus intuitive de l’échantillon. ϕ fait tourner l’angle comme on le voit dans la représentation polaire, et A est bien sûr l’amplitude. Réalisant cela, l’identité d’Euler devient évidente. Parce que ϕ est la rotation du vecteur dans le plan complexe, le faire tourner d’un demi-tour, 180° ou π radians, donne une partie réelle de -1 et aucune partie imaginaire, d’où :

+1 = 0

« L’étudiant doit trouver cela immédiatement évident,
sinon il ne sera jamais un mathématicien de premier ordre »

—Carl Friedrich Gauss

Fréquence positive contre fréquence négative

Il est maintenant facile de voir qu’en utilisant I/Q, nous pouvons représenter la fréquence du signal comme positive ou négative. Regardez les deux signaux I/Q rouge et bleu ci-dessous à gauche et comparez-les avec leurs projections réelles correspondantes. Il est aussi évident qu’ils diffèrent par les signes en I/Q, car il est impossible de déterminer les signes en utilisant uniquement la composante réelle du signal (ni la projection I ni la projection Q séparément).

(sidenote : je les ai légèrement déphasés les uns par rapport aux autres, sinon ils ne seraient pas du tout possibles à distinguer dans la représentation réelle à droite. Veuillez également noter que je suis ici, peu conventionnel, en utilisant l’axe x dans le phaseur pour le Q imaginaire)

Les mêmes signaux (enfin, plus ou moins) dans une représentation 3D.

Les composants I (vue de côté) :

Les composants Q (vue de dessus) :

Les signaux I/Q en 3D :

Mélanger et multiplier les signaux

L’utilisation de signaux réels ou de signaux IQ donne des résultats différents lorsque vous les multipliez. En effet, en utilisant uniquement la composante réelle, il n’est pas possible de déterminer de manière unique l’angle de phase du signal, donc impossible de distinguer une fréquence positive d’une fréquence négative.

Un spectre de fréquence dans le domaine réel ne montre généralement jamais le côté négatif, car il doit toujours être symétrique autour de zéro en raison de l’incertitude du signe de la fréquence du signal réel – d’où les parenthèses autour du signe de f1 dans la première formule de mélange les vrais signaux. J’ai inclus le côté négatif ici à des fins d’illustration, malgré sa redondance.

La multiplication de deux nombres complexes est plus facile à comprendre dans la représentation polaire. L’amplitude est multipliée et l’angle ajouté.

A1⋅eiϕ1⋅A2 eiϕ2 = A1A2 ei(ϕ1+ϕ2)

Réaliser que l’angle est ajouté sous la multiplication rend évident que les fréquences sont également ajoutées.

Et dans le domaine temporel…

Voyons maintenant cela dans le domaine temporel. Pour rendre plus facile (faisable !) le calcul de la DFT dans nos têtes, nous avons choisi des nombres vraiment simples. Mélangeons f avec -f. En utilisant I/Q, le résultat serait zéro, sans utiliser I/Q, ce serait zéro et 2f (et -2f, mais en réalité, il n’y a pas de différence). Eh bien, 2f, puisque la composante zéro (DC) … est nulle, c’est-à-dire pas là. Je t’avais dit qu’on utiliserait des chiffres simples.🙂

Ici, nous avons f et -f en bleu et rouge. Le vert est le produit des signaux complexes et le noir est le produit des signaux réels correspondants.

Droite. Le vert est tout à fait à zéro en fréquence, et le vrai signal noir est très clair 2f (la composante CC disparaît assez naturellement dans le monde réel).

Veuillez réfléchir au fait que le mélange vert des signaux I/Q a toujours une amplitude complète malgré le fait que la fréquence est nulle. Ceci est parfaitement possible en représentant une composante continue dans I/Q comme celle-ci, où la composante continue noire utilisant le réel disparaît. Ne vous inquiétez pas si le mélange vert n’est pas parfaitement aligné sur l’axe, c’est simplement parce que les signaux I/Q bleu et rouge sont légèrement déphasés.

(et oui, j’utilise l’axe y pour le signal réel ici)

Un exemple plus complexe

Si nous regardons maintenant les mêmes signaux que dans le domaine fréquentiel ci-dessus, en mélangeant 10 kHz (rouge) avec 3 kHz (bleu), nous obtenons le résultat en utilisant I/Q (vert) ou en utilisant réel (noir) comme indiqué ci-dessous.

Ce qu’il faut remarquer ici, c’est que le mélange I/Q (vert) est une onde sinusoïdale pure de fréquence plus élevée, mais le vrai mélange (noir) est clairement un composite de plusieurs fréquences (10-3, 10+3), exactement comme dans vu le spectre de fréquence ci-dessus.

Conversion descendante RF en données I/Q

Il existe une différence fondamentale entre un signal RF en bande de base et un signal modulé. Le signal modulé roule sur une porteuse d’une fréquence donnée, mais le signal de bande de base n’a aucune fréquence fixe. De ce fait, nous avons la possibilité de coder le signal I/Q bidimensionnel sur le signal RF unidimensionnel sans rien perdre. La magie !

La porteuse d’une fréquence donnée a deux paramètres que nous pouvons changer, son amplitude et sa phase. C’est ce que nous utilisons pour coder nos données I/Q. On peut le coder sur porteuse de fréquence f comme ceci (t pour le temps) :

Porteuse modulée RF = I⋅cos(2πft) + Q⋅sin(2πft)

En ajoutant un cosinus avec sa composante sinusoïdale correspondante de la même fréquence (c’est-à-dire la porteuse), nous modifions la phase et l’amplitude du signal RF résultant. Le transformer en arrière est aussi facile.

I = passe-bas(RF⋅cos(2πft)) 
Q = passe-bas(RF⋅sin(2πft))

J’ai compris ? La porteuse a une fréquence prédéfinie, donc une phase fixe comme référence. La bande de base non, d’où la nécessité de représenter explicitement la phase à l’aide de deux paramètres.

Même si cela semble bien sur le papier, en réalité la phase peut dériver du fait que les oscillateurs émetteurs et récepteurs ne sont jamais parfaitement synchronisés, mais diffèrent un peu à la fois en phase et en fréquence. Ainsi les émetteurs I et Q peuvent être déphasés par rapport aux récepteurs I et Q, mais l’angle relatif de I et Q est toujours assez correct, ainsi que l’amplitude.

Les fréquences négatives ne sont pas un problème non plus. Étant donné que la porteuse est de fréquence beaucoup plus élevée que la modulation, une fréquence de signal négative génère toujours une fréquence porteuse positive. C’est d’abord lorsque vous supprimez la bande de base de la porteuse que vous devez avoir un moyen de la représenter à nouveau négativement, c’est-à-dire en utilisant des données I/Q.

Formules

Certaines formules calculant avec des signaux I/Q traduisant entre la forme polaire et rectangulaire, etc.

Amplitude de crête A = (I²+Q²)1/2

Angle de phase ϕ = tan⁻¹(Q/I)

je = A⋅cos(ϕ)

Q = A⋅sin(ϕ)

Conversion des données IQ en un signal simple : I est le signal d’origine.

Forme d’Euler : A⋅eiϕ = A⋅(cos(ϕ) + i⋅sin(ϕ)) = I + Qi

Quelques exemples

Les exemples ci-dessous peuvent sembler assez jolis, mais interprétez-les avec un grain de sel. Le signal porteur modulé n’est pas réellement représenté à l’aide de données I/Q. Plus d’informations sur la façon de dériver le signal de données I/Q de la porteuse non modulée de données I/Q plus tard, une fois que j’aurai trouvé une explication pédagogique.🙂

Modulation AM en IQ

Même graphique vu de côté, c’est-à-dire uniquement comme I.

L’amplitude est donnée par (I²+Q²)1/2 pour chaque échantillon, c’est-à-dire même pour les échantillons dont la composante réelle I est égale à zéro.

Modulation FM dans IQ

Notez que l’amplitude est constante.

Même graphique vu de côté, c’est-à-dire que moi seul.

Une petite ruse

Jetez un œil au signal suivant en I (réel) uniquement.

Trois parties, gauche, centre et droite. La fréquence à gauche est à peu près la même que la fréquence à droite, n’est-ce pas ? Oui, si vous n’avez que moi, vous ne pouvez pas faire la différence. Mais regardez maintenant le même signal dans I/Q.

Vous voyez ici que le signal change de direction au centre, c’est-à-dire passe d’une fréquence positive à une fréquence négative. Pour le détecter, vous devez utiliser I/Q. La vraie partie que je seul ne suffit pas. C’est pourquoi un signal dans le domaine réel (I uniquement) est toujours symétrique autour de zéro dans le domaine fréquentiel. Ce n’est pas le cas avec les signaux I/Q.

I/Q – juste une construction mathématique ?

Parfois, j’obtiens l’objection : « Les données I/Q, c’est bien, mais ce n’est qu’une construction mathématique. Le vrai signal est réel ».

Je ne suis pas d’accord avec ça. Je dirais que le vrai signal est complexe, et le vrai signal en est une projection incomplète. Le vrai signal a en fait les attributs phase et amplitude pour chaque échantillon (c’est-à-dire un point dans le temps). Par conséquent, le vrai signal est en fait non seulement complexe, mais tridimensionnel : phase, amplitude et temps.

Regardez par exemple le pendule. Ses oscillations peuvent être décrites comme un signal. L’énergie du pendule oscille entre l’énergie potentielle et l’énergie cinétique. À tout moment, pour représenter l’état du pendule, vous devrez spécifier à la fois son énergie cinétique et son énergie potentielle. L’énergie cinétique ainsi que l’énergie potentielle sont toutes deux des attributs physiques très réels (dans les deux aspects) de l’état du pendule. Si vous en omettez un, vous ne savez vraiment rien de l’état du pendule. Par exemple, pour estimer l’énergie du pendule, vous devez prendre une série d’échantillons pour trouver le maximum, exactement de la même manière que vous le feriez pour trouver l’amplitude d’un signal en temps réel, etc. Et gardez à l’esprit, si le signal est modulé, c’est à dire non statique, rien ne garantit que l’amplitude reste constante dans votre série d’échantillons.

L’exemple ci-dessus n’est pas analogue aux données I/Q – cet exemple concerne les données I/Q. Utilisez I pour l’énergie cinétique et Q pour l’énergie potentielle, et vous y êtes.

Termes utilisés

  • I est la composante du signal en phase
  • Q est la composante du signal en quadrature
  • i est la constante mathématique i telle que i² = -1
  • A est utilisé pour l’amplitude de crête, l’enveloppe, du signal
  • ϕ (phi) est l’angle de phase
  • e est la base du logarithme népérien ~2,71828
  • est l’opération mélangeant les fréquences
  • est l’opération multiplication
  • « réel » est utilisé contrairement à I/Q, et pas nécessairement la composante I, mais plutôt « réel » comme dans « non complexe » ou « nombre réel ».
  • DC pour le « courant continu », la fréquence zéro.

Praxis consiste à représenter I comme x axe et Q comme y axe dans les diagrammes 2D, et I comme partie réelle et Q comme partie imaginaire d’un nombre complexe. Je m’en écarte souvent pour rendre les illustrations plus faciles à lire. Cela n’a aucune importance si vous intervertissez I et Q, l’important est qu’ils soient orthogonaux (90°) l’un à l’autre, et l’utilisation d’une représentation complexe n’est que pratique également, donc aucune importance si Q est « up » dans un graphique, et I » up » dans le suivant, ou celui que vous représentez comme la partie réelle respectivement imaginaire du nombre complexe, si vous utilisez une représentation complexe. Source : Mikael Q Kuisma Whiteboard Ping.se

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